【余子式跟代数余子式的区别】在矩阵与行列式的计算中，余子式（Minor）和代数余子式（Cofactor）是两个非常重要的概念。虽然它们都与行列式的展开有关，但两者在定义、符号以及应用上有着明显的不同。以下是对两者的总结与对比。
一、基本概念
1. 余子式（Minor）
余子式是指在一个n阶行列式中，去掉某一行和某一列后所剩下的(n-1)阶行列式的值。通常用 $ M_{ij} $ 表示第i行第j列的余子式。
2. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式是在余子式的基础上乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $，表示为 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $。它用于行列式的展开计算。
二、主要区别总结
| 对比项 | 余子式（Minor） | 代数余子式（Cofactor） |
| 定义 | 去掉某一行一列后的剩余行列式值 | 余子式乘以符号 $ (-1)^{i+j} $ |
| 符号 | 没有符号，仅数值 | 有符号，取决于位置 $ i, j $ |
| 用途 | 用于计算行列式或其它相关矩阵结构 | 用于行列式的展开计算（如拉普拉斯展开） |
| 表达式 | $ M_{ij} $ | $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ |
| 是否影响正负 | 不影响 | 影响正负，决定展开结果的符号 |
三、实际应用举例
假设有一个3×3矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
- 余子式 $ M_{11} $ 是去掉第一行第一列后的行列式：
$$
M_{11} = \begin{vmatrix}
e & f \\
h & i \\
\end{vmatrix} = ei - fh
$$
- 代数余子式 $ C_{11} $ 则为：
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (ei - fh) = ei - fh
$$
如果考虑 $ C_{12} $，则：
$$
M_{12} = \begin{vmatrix}
d & f \\
g & i \\
\end{vmatrix} = di - fg
$$
$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -1 \cdot (di - fg) = -di + fg
$$
四、总结
余子式和代数余子式虽然密切相关，但在使用时需注意它们的定义差异和符号处理。余子式主要用于描述行列式的局部结构，而代数余子式则更常用于行列式的展开计算中，特别是在拉普拉斯展开法中起着关键作用。理解这两者的区别有助于更准确地进行矩阵运算和线性代数分析。