【泊松分布公式】泊松分布是一种常用的概率分布模型，主要用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。它适用于独立事件、发生概率较小且总次数较多的情况。泊松分布广泛应用于排队论、保险精算、物理学、生物学等领域。
一、泊松分布的定义
设随机变量 $ X $ 表示在某个固定区间内（如时间、面积等）某事件发生的次数，若满足以下条件：
- 事件在任意两个不重叠的区间内发生的次数相互独立；
- 事件在任意小区间内发生的概率与区间长度成正比；
- 在极小的区间内，事件发生一次的概率非常小，而发生两次或以上的概率可以忽略不计；
则 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布，记作 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $。
二、泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
$$
其中：
- $ k = 0, 1, 2, \ldots $
- $ \lambda > 0 $ 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数，也称为期望值；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）。
三、泊松分布的性质
| 属性 | 内容 |
| 期望值 | $ E(X) = \lambda $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \lambda $ |
| 偏度 | $ \gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} $ |
| 峰度 | $ \gamma_2 = \frac{1}{\lambda} $ |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ |
四、泊松分布的应用场景
| 应用领域 | 示例 |
| 通信系统 | 电话呼叫到达次数预测 |
| 生物学 | 基因突变的发生频率 |
| 保险精算 | 灾难性事件的理赔次数 |
| 交通工程 | 车辆到达的间隔时间 |
| 网络流量 | 数据包到达的次数 |
五、泊松分布与二项分布的关系
当试验次数 $ n $ 很大，且每次事件发生的概率 $ p $ 很小，使得 $ \lambda = np $ 保持不变时，二项分布 $ B(n, p) $ 可以近似为泊松分布 $ \text{Poisson}(\lambda) $。
六、总结
泊松分布是描述稀有事件在固定区间内发生次数的重要工具。其核心公式简单明了，但应用广泛。通过理解其数学表达和实际意义，可以更好地在统计分析、预测建模中加以利用。
附：泊松分布公式一览表
| 名称 | 公式 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ |
| 期望 | $ \lambda $ |
| 方差 | $ \lambda $ |
| 偏度 | $ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} $ |
| 峰度 | $ \frac{1}{\lambda} $ |